El problema: condensador con dieléctrico

Un condensador de placas paralelas con densidad de carga libre \(\pm\sigma_{\text{libre}}\) en las placas y un dieléctrico de permitividad \(\varepsilon_r\) entre ellas. Al introducir el dieléctrico, aparecen cargas de polarización en sus superficies:

+ + + + + + + + + + + ← \(\sigma_{\text{libre}}\) (placa conductora)
— — — — — — — ← \(-\sigma_{\text{pol}}\) (superficie del dieléctrico)
   [     dieléctrico     \(\varepsilon_r\)     ]
+ + + + + + + + + + + ← \(+\sigma_{\text{pol}}\) (superficie del dieléctrico)
— — — — — — — ← \(-\sigma_{\text{libre}}\) (placa conductora)

Paso 1: Gauss con D sobre la placa positiva

Dibujamos una superficie gaussiana \(S\) que encierra solo la placa positiva. Como D solo ve cargas libres:

\[ \oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{libre}} = \sigma_{\text{libre}} \cdot A \]

Por simetría, \(\mathbf{D}\) es perpendicular a las placas y uniforme en toda la sección \(A\):

\[ D \cdot A = \sigma_{\text{libre}} \cdot A \]
\[ \boxed{D = \sigma_{\text{libre}}} \]
Resultado clave: D es igual a la densidad de carga libre, siempre, sin importar qué material esté entre las placas.

Paso 2: Obtener E a partir de D

En un dieléctrico lineal \(\mathbf{D} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \mathbf{E}\), entonces:

\[ E = \frac{D}{\varepsilon_0 \varepsilon_r} = \frac{\sigma_{\text{libre}}}{\varepsilon_0 \varepsilon_r} \]

Comparado con el vacío donde \(E_0 = \sigma_{\text{libre}}/\varepsilon_0\), el campo se reduce por un factor \(\varepsilon_r\):

\[ E = \frac{E_0}{\varepsilon_r} < E_0 \]

El dieléctrico apantalla el campo eléctrico. Cuanto mayor es \(\varepsilon_r\), más débil es \(\mathbf{E}\) adentro.

Paso 3: Obtener P a partir de D y E

De la definición \(\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}\), despejamos \(\mathbf{P}\):

\[ P = D – \varepsilon_0 E = \sigma_{\text{libre}} – \frac{\sigma_{\text{libre}}}{\varepsilon_r} = \sigma_{\text{libre}}\left(1 – \frac{1}{\varepsilon_r}\right) \]

Esta polarización genera exactamente las cargas superficiales que aparecen en el diagrama:

\[ \sigma_{\text{pol}} = P = \sigma_{\text{libre}}\left(1 – \frac{1}{\varepsilon_r}\right) \]

El mensaje central

\[ \underbrace{D = \sigma_{\text{libre}}}_{\text{no cambia con } \varepsilon_r} \qquad \underbrace{E = \frac{\sigma_{\text{libre}}}{\varepsilon_0\,\varepsilon_r}}_{\text{decrece con } \varepsilon_r} \qquad \underbrace{P = \sigma_{\text{libre}}\!\left(1-\frac{1}{\varepsilon_r}\right)}_{\text{crece con } \varepsilon_r} \]
\(\mathbf{D}\) \(\mathbf{E}\) \(\mathbf{P}\)
Qué representa efecto de cargas libres campo neto real respuesta del material
Depende de \(\varepsilon_r\) No Sí, decrece Sí, crece
Valor \(\sigma_{\text{libre}}\) \(\sigma_{\text{libre}}/\varepsilon_0\varepsilon_r\) \(\sigma_{\text{libre}}(1-1/\varepsilon_r)\)
Ley de Gauss \(\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{libre}}\) \(\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \dfrac{Q_{\text{libre}}+Q_{\text{pol}}}{\varepsilon_0}\) \(\oint \mathbf{P}\cdot d\mathbf{A} = -Q_{\text{pol}}\)
Interpretación física: \(\mathbf{D}\) fue construido exactamente para cancelar el efecto de \(Q_{\text{pol}}\). Es el campo del “ingeniero”: solo depende de lo que tú pones. \(\mathbf{E}\) es el campo del “físico”: lo que realmente existe en cada punto del espacio.