Primera aplicación de \(\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}\)
Condensador de placas paralelas con dieléctrico
Punto de partida: la ecuación constitutiva
Ya establecimos que el vector desplazamiento eléctrico se define como:
\[ \mathbf{D} \equiv \varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P} \]
Esta es la forma general, válida para cualquier material. Para un dieléctrico lineal e isótropo donde \(\mathbf{P} = \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}\), se simplifica paso a paso:
\[
\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} + \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}
= \varepsilon_0\underbrace{(1+\chi_e)}_{\varepsilon_r}\mathbf{E}
= \varepsilon_0\varepsilon_r\mathbf{E}
= \varepsilon\,\mathbf{E}
\]
donde \(\varepsilon_r = 1 + \chi_e\) es la permitividad relativa y \(\varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_r\) es la permitividad absoluta del material.
El sistema
Condensador de placas paralelas de área \(A\) y separación \(d\), con densidad de carga libre \(\sigma_\text{libre}\) en las placas y un dieléctrico lineal de permitividad \(\varepsilon_r\) llenando completamente el espacio entre ellas:
+ + + + + + + + + + + + + \(\leftarrow \sigma_\text{libre}\) (conductor)
― ― ― ― ― ― ― ― ― \(\leftarrow -\sigma_\text{pol}\) (dieléctrico)
[ dieléctrico \(\varepsilon_r\) ]
+ + + + + + + + + + + + + \(\leftarrow +\sigma_\text{pol}\) (dieléctrico)
― ― ― ― ― ― ― ― ― \(\leftarrow -\sigma_\text{libre}\) (conductor)
Paso 1: encontrar D mediante la ley de Gauss
La ley de Gauss para \(\mathbf{D}\) es:
\[ \oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_\text{libre}^\text{enc} \]
Construimos una superficie gaussiana \(S\) tipo pillbox que atraviesa la placa positiva: una cara dentro del conductor y otra dentro del dieléctrico. Hay tres contribuciones:
\[
\underbrace{D_\text{conductor} \cdot A}_{= \;0} \;+\; \underbrace{D_\text{lateral} \cdot A_\text{lat}}_{= \;0} \;+\; D_\text{dieléctrico} \cdot A \;=\; \sigma_\text{libre}\cdot A
\]
Dentro del conductor \(\mathbf{D} = 0\). En las caras laterales \(\mathbf{D}\) es paralelo, no hay flujo. Solo queda la cara interior:
\[ \boxed{D = \sigma_\text{libre}} \]
Justificación física: \(\mathbf{D}\) solo responde a las cargas libres. Las cargas de polarización \(\sigma_\text{pol}\) que aparecen en la superficie del dieléctrico no afectan este resultado — esa es precisamente la utilidad de \(\mathbf{D}\).
Paso 2: obtener E a partir de D
Aplicamos la ecuación constitutiva \(\mathbf{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r\mathbf{E}\):
\[ E = \frac{D}{\varepsilon_0\varepsilon_r} = \frac{\sigma_\text{libre}}{\varepsilon_0\varepsilon_r} \]
Comparando con el caso sin dieléctrico \((\varepsilon_r = 1)\):
\[ E_\text{vacío} = \frac{\sigma_\text{libre}}{\varepsilon_0} \qquad\Longrightarrow\qquad E = \frac{E_\text{vacío}}{\varepsilon_r} \;<\; E_\text{vacío} \]
Justificación física: el dieléctrico se polariza y genera un campo \(\mathbf{E}_\text{pol}\) opuesto al campo externo \(\mathbf{E}_0\). El campo neto es la superposición de ambos, reducido por el factor \(\varepsilon_r\).
Paso 3: obtener P a partir de D y E
De la definición general \(\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}\), despejamos \(\mathbf{P}\):
\[
P = D – \varepsilon_0 E
= \sigma_\text{libre} – \frac{\sigma_\text{libre}}{\varepsilon_r}
= \sigma_\text{libre}\!\left(1 – \frac{1}{\varepsilon_r}\right)
\]
Esta polarización genera exactamente las cargas superficiales del diagrama:
\[ \sigma_\text{pol} = \mathbf{P}\cdot\hat{n} = \sigma_\text{libre}\!\left(1 – \frac{1}{\varepsilon_r}\right) \]
Verificación de casos límite: con \(\varepsilon_r = 1\) (vacío) \(\Rightarrow \sigma_\text{pol} = 0\). Con \(\varepsilon_r \to \infty\) \(\Rightarrow \sigma_\text{pol} \to \sigma_\text{libre}\), cancelando casi completamente el campo interior.
Paso 4: voltaje y capacitancia
El campo es uniforme entre las placas, así que el voltaje es:
\[ V = E\cdot d = \frac{\sigma_\text{libre}\,d}{\varepsilon_0\varepsilon_r} \]
La capacitancia \(C = Q/V = \sigma_\text{libre}A\,/\,V\):
\[ \boxed{C = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_r\, A}{d} = \varepsilon_r\, C_0} \]
donde \(C_0 = \varepsilon_0 A/d\) es la capacitancia sin dieléctrico. El dieléctrico aumenta la capacitancia exactamente por el factor \(\varepsilon_r\).
Justificación física: al reducir \(\mathbf{E}\) por un factor \(\varepsilon_r\), el voltaje también se reduce. Con la misma carga \(Q\) pero menor voltaje, \(C = Q/V\) es mayor.
Resumen
\[
\underbrace{D = \sigma_\text{libre}}_{\text{no cambia con }\varepsilon_r}
\qquad
\underbrace{E = \frac{\sigma_\text{libre}}{\varepsilon_0\varepsilon_r}}_{\text{decrece con }\varepsilon_r}
\qquad
\underbrace{P = \sigma_\text{libre}\!\left(1-\frac{1}{\varepsilon_r}\right)}_{\text{crece con }\varepsilon_r}
\qquad
\underbrace{C = \varepsilon_r C_0}_{\text{crece con }\varepsilon_r}
\]
| Cantidad |
\(\mathbf{D}\) |
\(\mathbf{E}\) |
\(\mathbf{P}\) |
\(C\) |
| Qué representa |
efecto de cargas libres |
campo neto real |
respuesta del material |
capacidad de almacenamiento |
| Depende de \(\varepsilon_r\) |
No |
Sí, decrece |
Sí, crece |
Sí, crece |
| Valor |
\(\sigma_\text{libre}\) |
\(\dfrac{\sigma_\text{libre}}{\varepsilon_0\varepsilon_r}\) |
\(\sigma_\text{libre}\!\left(1-\dfrac{1}{\varepsilon_r}\right)\) |
\(\varepsilon_r C_0\) |
El flujo de cálculo siempre es el mismo:
\(Q_\text{libre} \xrightarrow{\text{Gauss}} \mathbf{D} \xrightarrow{\div\,\varepsilon} \mathbf{E} \xrightarrow{-\int} V \xrightarrow{Q/V} C\)