Polarización y Cargas de Polarización
¿Por qué ρpol = −∇·P ?
Las cargas +q y −q de moléculas vecinas se cancelan exactamente en el interior.
∇·P = 0 → ρ_pol = 0 en el interior. Solo aparece carga en las superficies.
Mueve el slider o cambia al modo “P con gradiente” para ver qué cambia.
Punto de partida: Ley de Gauss canónica
Todo comienza con una sola ley, sin asumir nada sobre el material:
\[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} \]
Paso 1: La carga encerrada tiene dos tipos
Cuando hay materia, la carga encerrada dentro de \(S\) no es solo la que pusimos nosotros. El dieléctrico genera sus propias cargas de polarización:
\[ Q_{\text{enc}} = Q_{\text{libre}} + Q_{\text{pol}} \]
Entonces la ley de Gauss queda:
\[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{libre}} + Q_{\text{pol}}}{\varepsilon_0} \]
Esto es exacto, pero incómodo: \(Q_{\text{pol}}\) depende del material y no la controlamos.
Paso 2: Expresar \(Q_{\text{pol}}\) en términos de P
Los dipolos que cruzan la superficie \(S\) dejan carga sin cancelar. Ese conteo es precisamente el flujo de \(\mathbf{P}\):
\[ Q_{\text{pol}} = -\oint_S \mathbf{P} \cdot d\mathbf{A} \]
El signo negativo refleja que donde \(\mathbf{P}\) sale de \(S\), los \(+q\) escapan y quedan \(-q\) adentro.
Paso 3: Sustituir en la ley de Gauss
\[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{libre}}}{\varepsilon_0} - \frac{1}{\varepsilon_0}\oint_S \mathbf{P} \cdot d\mathbf{A} \]
Multiplicamos por \(\varepsilon_0\) y pasamos la integral de \(\mathbf{P}\) al lado izquierdo:
\[ \oint_S \left(\varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}\right) \cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{libre}} \]
Paso 4: Definir D
El paréntesis es una combinación que aparece naturalmente. Le damos nombre:
\[ \boxed{\mathbf{D} \equiv \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}} \]
Y la ley de Gauss queda limpia:
\[ \boxed{\oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{libre}}} \]
Lo que ganamos
| \(\mathbf{E}\) | \(\mathbf{D}\) | |
|---|---|---|
| Ley de Gauss | \(\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{libre}} + Q_{\text{pol}}}{\varepsilon_0}\) | \(\oint \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{libre}}\) |
| Qué "ve" | todas las cargas | solo cargas libres |
| Depende del material | sí | no (por construcción) |
Para material lineal
En un dieléctrico lineal \(\mathbf{P} = \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E}\), entonces:
\[ \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E} = \varepsilon_0(1 + \chi_e)\mathbf{E} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \mathbf{E} = \varepsilon \mathbf{E} \]
Punto de partida: Ley de Gauss canónica
Todo comienza con una sola ley, sin asumir nada sobre el material:
Paso 1: La carga encerrada tiene dos tipos
Cuando hay materia, la carga encerrada dentro de \(S\) no es solo la que pusimos nosotros. El dieléctrico genera sus propias cargas de polarización:
Entonces la ley de Gauss queda:
Esto es exacto, pero incómodo: \(Q_{\text{pol}}\) depende del material y no la controlamos.
Paso 2: Expresar \(Q_{\text{pol}}\) en términos de P
Los dipolos que cruzan la superficie \(S\) dejan carga sin cancelar. Ese conteo es precisamente el flujo de \(\mathbf{P}\):
El signo negativo refleja que donde \(\mathbf{P}\) sale de \(S\), los \(+q\) escapan y quedan \(-q\) adentro.
Paso 3: Sustituir en la ley de Gauss
Multiplicamos por \(\varepsilon_0\) y pasamos la integral de \(\mathbf{P}\) al lado izquierdo:
Paso 4: Definir D
El paréntesis es una combinación que aparece naturalmente. Le damos nombre:
Y la ley de Gauss queda limpia:
Lo que ganamos
| \(\mathbf{E}\) | \(\mathbf{D}\) | |
|---|---|---|
| Ley de Gauss | \(\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{libre}} + Q_{\text{pol}}}{\varepsilon_0}\) | \(\oint \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{libre}}\) |
| Qué "ve" | todas las cargas | solo cargas libres |
| Depende del material | sí | no (por construcción) |
Para material lineal
En un dieléctrico lineal \(\mathbf{P} = \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E}\), entonces: